Ανάλυση – Σύνθεση – Απόδειξη – Διερεύνηση

 

Γεωμετρικές Διαδρομές  ·

Σωτήρης Γκουντουβάς  · 8 ώρ.  ·

Ανάλυση – Σύνθεση – Απόδειξη – Διερεύνηση

Στα προβλήματα Γεωμετρικών Κατασκευών η επίλυση ακολουθεί το καθιερωμένο πρότυπο Ανάλυση – Σύνθεση – Απόδειξη – Διερεύνηση.

Στους πιο μεγάλης ηλικίας μαθηματικούς το τετράπτυχο αυτό φέρνει στη μνήμη τους τις εποχές εκείνες που οι γεωμετρικές κατασκευές και οι γεωμετρικοί τόποι ήταν απαραίτητα για την εισαγωγή στο Πανεπιστήμιο. Να υπενθυμίσουμε ότι ένα πρόβλημα Γεωμετρικής Κατασκευής επιλύεται αποκλειστικά με κανόνα και διαβήτη.

Ας δούμε λοιπόν το τετράπτυχο αυτό αναλυτικά.

Ανάλυση

Θεωρούμε ότι το πρόβλημα δέχεται μία τουλάχιστον λύση και πραγματοποιούμε το αντίστοιχο σχήμα. Ξεκινάμε λοιπόν από το ζητούμενο με την παραδοχή «Έστω ότι κατασκευάστηκε»

Στη συνέχεια με τη βοήθεια του σχήματος αναζητούμε τις σχέσεις που ισχύουν μεταξύ των δεδομένων και του ζητούμενου σχήματος.

Προσδιορίζουμε έτσι τις σχέσεις που είναι απαραίτητες για την κατασκευή.

Ανάλυση λοιπόν είναι το σύνολο των παρατηρήσεων που αναφέρονται μεταξύ των σχέσεων που δίνονται (δεδομένων) και των σχέσεων που ζητάμε (ζητούμενα), βάσει των οποίων θα γίνει η κατασκευή.

Σύνθεση (ή Κατασκευή)

Είναι το σύνολο των απλών γεωμετρικών κατασκευών με τη βοήθεια των οποίων πραγματοποιείται η κατασκευή του ζητούμενου σχήματος.

Η πορεία της σύνθεσης είναι αντίστροφη από αυτήν της ανάλυσης.

Απόδειξη

Είναι η εγκυροποίηση με τις μαθηματικές αποδεικτικές μεθόδους (δηλαδή τη μαθηματική λογική) ότι το σχήμα που κατασκευάσαμε ικανοποιεί τις δοθείσες συνθήκες, δηλαδή ότι είναι η λύση του προβλήματος.

Διερεύνηση

Αφορά την εύρεση των σχέσεων που πρέπει να υφίστανται ώστε να υπάρχουν λύσεις του προβλήματος, δηλαδή ένα ή περισσότερα σχήματα.

Ας τα δούμε όλα αυτά στο εξής πρόβλημα:

Να κατασκευαστεί ο κύκλος που διέρχεται από τρία σημεία Α, Β και Γ.

Ανάλυση

Έστω (Κ,ρ) ο ζητούμενος κύκλος που διέρχεται από τα μη συνευθειακά σημεία Α, Β και Γ. Πρέπει λοιπόν οι αποστάσεις του κέντρου αυτού του κύκλου από τα τρία σημεία να είναι ίσες, δηλαδή ΚΑ=ΚΒ=ΚΓ.

Το σημείο Κ λοιπόν ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ΒΓ άρα βρίσκεται στην μεσοκάθετο ε1 του ΒΓ.

Επίσης, το σημείο Κ ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ΑΓ άρα βρίσκεται στην μεσοκάθετο ε2 του ΑΓ.

Ομοίως, το σημείο Κ ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ΑΒ άρα βρίσκεται στην μεσοκάθετο ε3 του ΑΒ.

Οι τρεις μεσοκάθετοι του τριγώνου ΑΒΓ συντρέχουν στο σημείο Κ, το περίκεντρο του τριγώνου. Άρα η λύση του προβλήματος είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου που ορίζουν τα τρία σημεία. Το κέντρο του ζητούμενου κύκλου είναι το περίκεντρο του τριγώνου, δηλαδή το σημείο τομής των τριών μεσοκαθέτων.

Σύνθεση

Κατασκευάζουμε τις μεσοκαθέτους των τμημάτων ΒΓ και ΑΓ που τέμνονται στο Κ. Με κέντρο το Κ και ακτίνα ρ=ΚΑ κατασκευάζουμε τον ζητούμενο κύκλο.

Απόδειξη

Τα τμήματα ΚΑ, ΚΒ και ΚΓ είναι ίσα γιατί το Κ ισαπέχει από τα άκρα των τμημάτων ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ. Άρα ο κύκλος (Κ,ρ) διέρχεται από τα σημεία Α, Β και Γ.

Διερεύνηση

• Αν τα σημεία Α, Β, Γ είναι μη συνευθειακά, τότε το πρόβλημα έχει μοναδική λύση.
• Αν τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά τότε το πρόβλημα δεν έχει λύση.

Άρα λοιπόν το πρόβλημα έχει 1 ή καμία λύση.

Σωτήρης Χ. Γκουντουβάς

Γεωμετρικές Διαδρομές, σελ. 81-83